基底変換が次の一次変換によって表されるとする. このとき について これが に等しく, , が基底なので したがって ゆえに よって , とおくと すなわち これは共変ベクトルの変換則そのものである. つまり, 基底変換が一次変換であるときの基底と同じ変換則に…

であったので, 両辺に をかけて … (1)また, … (2) … (3) … (4) と定義する.ビアンキの恒等式より 両辺に をかけると, 計量は の中に入れることができたから 添字を入れ替えると一部符号が変わって(この変換規則はまだ記事を書いていない) (各項に (1) を用い…

であるから よって は 1 階の共変ベクトルになる. も同様. であるから, よって と定義すれば は 2 階反変 1 階共変のテンソルである.テンソルの縮約について, 特に と定義する. これをもって「ベクトルに計量をかけると添字の上げ下げができる」と表現される…

反変ベクトルの共変微分は で定義された. この定義の必然性がよく分からないのは以前と変わらないのだが, これを元にして共変ベクトルの共変微分を定義する.一般のテンソルに対する共変微分について, 次の 2 条件を満たすことを要請する. (i) がスカラーなら…

ビアンキの恒等式をヤコビの恒等式を使って証明するやり方のメモ.復習. … (1) … (2) これらより (1) より したがって (2) より ここで … (3) という量を計算すると, 上式の 1 行目の第 1 項と 2 行目のすべての項が打ち消し合って消える. また, 3 行目の第 3…

局所直交座標系においては が成り立っている. (要証明) 添字が上に上がっても同様. したがって, あるテンソル があって, その各項がこれらを因数としてもつとき, となる. また, テンソルの変換性により, あるテンソル がある座標系において 0 ならば, それは…

前回, テンソルの共変微分はベクトルの共変微分から導かれるのかどうなのか分からないと書いたが, 導かれることが分かった. 例えば, 共変ベクトル , に対して という量をつくってみると, となるから, は 2 階の共変テンソルである. (厳密には となることの証…

2 階のテンソルの共変微分は, たとえば次のようになるらしい. これは定義なのか定理なのか. ベクトルの共変微分の定義と矛盾なく定義されたものなのか, ベクトルの共変微分から導かれるものなのか. はたまた, より根本的な原理からベクトルも含めたテンソル…

任意の点 P において, 座標変換を適当に選べば, 接続係数を 0 にすることができるという話. であるから, 点 P における接続係数の値 が に P の座標を代入した値 に等しくなるような をとることができれば, となる. ここから直ちに を導くことはできないが, …

と より

これを とおく. これを とおく. と についても同様. と についても同様で, まとめると , , という形をしていることが分かる. ただし, 1 つ目の と 2 つ目の が等しいことをいうために, であることを使う. よって, であることよ. と についても同様に計算でき…

「時空と重力（藤井保憲著）」の 99 ページに計量条件 の証明が載っていたが, 途中式が省略されている箇所があり, 自分で計算してみたところ, よく分からなくなって 3 日くらい考えた. 今日になってやっとできた. 意外と簡単だった. 以下, メモ.まず, を示し…

共変微分の定義の必然性が分からない. したがって, 重力場の方程式が共変微分を使うと上手く定義できる理由もよく分からない(テンソルになるためというのは分かる). 今日は, 「相対性理論（内山龍雄著）」の導入部を確認してみる.Riemann 空間で平行概念を定…

「時空と重力（藤井保憲著）」を元に, 共変微分の式を導出してみる.x 座標系から x' 座標系への変換を考える. それぞれの計量を , とする. x 座標系でのベクトル場では, どの位置にあってもベクトルは定数で表されるものとし, それを とする. x' 座標系での…

全微分というのがよく分からない. ネットで調べてみても色々に書いてあって統一性がない. 「解析概論」を読み返してみよう.とりあえず, 式から分かることをまとめてみる. と についての 2 変数関数 について を, 関数 の全微分と呼ぶ, らしい. 場合によって…