共変微分（定義の必然性が分からない） - 高校時代に物理で赤点をとったけど相対性理論を勉強するよ！

共変微分の定義の必然性が分からない.
したがって, 重力場の方程式が共変微分を使うと上手く定義できる理由もよく分からない(テンソルになるためというのは分かる).
今日は, 「相対性理論（内山龍雄著）」の導入部を確認してみる.

Riemann 空間で平行概念を定義して, そこから共変微分を考えるという流れ.
平行移動する前と後でのベクトルの差を次のように定義する.
$V^\mu(x+\Delta x)_{//}-V^\mu(x)\equiv\Delta x^\nu X^\mu_{\nu\lambda}V^\lambda$ … (1)
ここで $X^\mu_{\nu\lambda}$ を辻褄が合うように調整して, その -1 倍を接続係数 $\Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ として定義し, 共変微分に繋げている.
その辺りの話はとりあえずおいておくことにして, (1) の右辺のような形が出てくることの必然性が分からないでいる.
アインシュタインの縮約を使っているようなので, 丁寧に書くと
$\Delta x^\nu X^\mu_{\nu\lambda}V^\lambda$
$=\Delta x^1 X^\mu_{1\lambda}V^\lambda+\Delta x^2 X^\mu_{2\lambda}V^\lambda+\cdots+\Delta x^n X^\mu_{n\lambda}V^\lambda$
$=(\Delta x^1 X^\mu_{11}V^1+\Delta x^1 X^\mu_{12}V^2+\cdots+\Delta x^1 X^\mu_{1n}V^n)$
$+(\Delta x^1 X^\mu_{21}V^1+\Delta x^1 X^\mu_{22}V^2+\cdots+\Delta x^1 X^\mu_{2n}V^n)$
$+\cdots$
$+(\Delta x^1 X^\mu_{n1}V^1+\Delta x^1 X^\mu_{32}V^2+\cdots+\Delta x^1 X^\mu_{nn}V^n)$
…で, 合っているだろうか？
こうしてみると, 各 $t$ について $\Delta x^t X^\mu_{t\lambda}V^\lambda$ が $V^\lambda$ ( $\lambda=1, 2, \cdots n$ ) の線形結合で表され, それらがさらに線形結合で結びついているようだ.

実家にある「多様体の基礎（松本幸夫著）」を読んで, リーマン幾何学についてちゃんと勉強した方がいいかもしれない.