共変ベクトルの名前の由来 - 高校時代に物理で赤点をとったけど相対性理論を勉強するよ！

基底変換が次の一次変換によって表されるとする.
$(e'_1,e'_2) = (e_1,e_2) \left(\begin{array}{cc}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{21}\end{array}\right)$
このとき
$v=x'e'_1+y'e'_2=(e'_1,e'_2) \left(\begin{array}{c} x' \\ y'\end{array}\right)$
について
$v=(e_1,e_2) \left(\begin{array}{cc}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{21}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x' \\ y'\end{array}\right)$
これが
$v=x e_1+y e_2=(e_1,e_2) \left(\begin{array}{c} x \\ y\end{array}\right)$
に等しく, $e_1$ , $e_2$ が基底なので
$\left(\begin{array}{c} x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{21}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x' \\ y'\end{array}\right)$
したがって
$x=a_{11} x'+a_{12} y'$
$y=a_{21} x'+a_{22} y'$
ゆえに
$\displaystyle a_{11}=\frac{dx}{dx'}$
$\displaystyle a_{12}=\frac{dx}{dy'}$
$\displaystyle a_{21}=\frac{dy}{dx'}$
$\displaystyle a_{22}=\frac{dy}{dy'}$
よって
$\displaystyle (e'_1,e'_2) = (e_1,e_2) \left(\begin{array}{cc}\frac{dx}{dx'} & \frac{dx}{dy'} \\ \frac{dy}{dx'} & \frac{dy}{dy'}\end{array}\right)$
$x^1=x$ , $x^2=y$ とおくと
$\displaystyle (e'_1,e'_2) = (e_1,e_2) \left(\begin{array}{cc}\frac{dx^1}{dx'^1} & \frac{dx^1}{dx'^2} \\ \frac{dx^2}{dx'^1} & \frac{dx^2}{dx'^2}\end{array}\right)$
すなわち
$\displaystyle e'_i=\frac{dx^j}{dx'^i}e_j$
これは共変ベクトルの変換則そのものである.
つまり, 基底変換が一次変換であるときの基底と同じ変換則にしたがうことから共変ベクトルの名が付いたのである.