テンソルの共変微分と計量条件と他 - 高校時代に物理で赤点をとったけど相対性理論を勉強するよ！

前回, テンソルの共変微分はベクトルの共変微分から導かれるのかどうなのか分からないと書いたが, 導かれることが分かった.
例えば, 共変ベクトル $A_\mu$ , $B_\nu$ に対して
$T_{\mu\nu}\equiv A_\mu B_\nu$
という量をつくってみると,
$\displaystyle T'_{\mu\nu} = A'_\mu B'_\nu = \frac{\partial x^\lambda}{\partial x'^\mu} A_\lambda \frac{\partial x^\tau}{\partial x'^\nu} B_\tau = \frac{\partial x^\lambda}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x^\tau}{\partial x'^\nu} T_{\lambda\tau}$
となるから, $T_{\mu\nu}$ は 2 階の共変テンソルである.
(厳密には $A'_\mu B'_\nu=(A_\mu B\nu)'$ となることの証明が必要だと思う.)

さて, 共変ベクトルの共変微分は次のように定義されていた.
$\nabla_\nu A_\mu=\partial_\nu A_\mu-\Gamma^\lambda_{\mu\nu}A_\lambda$
また, ライプニッツの法則は, まだ証明していないが, 成り立つものとして話を進める.

以上のことから, 2 階の共変テンソルの共変微分を導いてみるぞ.

$\displaystyle \nabla_\lambda T_{\mu\nu}$
　 $\displaystyle = \nabla_\lambda(A_\mu B_\nu)$
　 $\displaystyle = (\nabla_\lambda A_\mu)B_\nu+(\nabla_\lambda B_\nu)A_\mu$
　 $\displaystyle = (\partial_\lambda A_\mu-\Gamma^\rho_{\lambda\mu}A_\rho)B_\nu+(\partial_\lambda B_\nu-\Gamma^\rho_{\lambda\nu}B_\rho)A_\mu$
　 $\displaystyle = (\partial_\lambda A_\mu)B_\nu+(\partial_\lambda B_\nu)A_\mu-\Gamma^\rho_{\lambda\mu}A_\rho B_\nu-\Gamma^\rho_{\lambda\nu}A_\mu B_\rho$
　 $\displaystyle = \partial_\lambda(A_\mu B_\nu)-\Gamma^\rho_{\lambda\mu}A_\rho B_\nu-\Gamma^\rho_{\lambda\nu}A_\mu B_\rho$
　 $\displaystyle = \partial_\lambda T_{\mu\nu}-\Gamma^\rho_{\lambda\mu}T_{\rho\nu}-\Gamma^\rho_{\lambda\nu}T_{\mu\rho}$

できました.

実はこのことを使うと計量条件も簡単に導けるのであった.

$g_{\mu\nu}$ も 2 階の共変テンソルであるから
$\displaystyle \nabla_\lambda g_{\mu\nu}$
　 $\displaystyle = \partial_\lambda g_{\mu\nu}-\Gamma^\rho_{\lambda\mu}g_{\rho\nu}-\Gamma^\rho_{\lambda\nu}g_{\mu\rho}$
　 $\displaystyle = \partial_\lambda g_{\mu\nu}$
　　 $\displaystyle -\frac{1}{2}g^{\rho\tau}(\partial_\lambda g_{\tau\mu}+\partial_\mu g_{\tau\lambda}-\partial_\tau g_{\lambda\mu})g_{\rho\nu}$
　　 $\displaystyle -\frac{1}{2}g^{\rho\tau}(\partial_\lambda g_{\tau\nu}+\partial_\nu g_{\tau\lambda}-\partial_\tau g_{\nu\lambda})g_{\mu\rho}$
　 $\displaystyle = \partial_\lambda g_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\delta^\tau_\nu(\partial_\lambda g_{\tau\mu}+\partial_\mu g_{\tau\lambda}-\partial_\tau g_{\lambda\mu})-\frac{1}{2}\delta^\tau_\mu(\partial_\lambda g_{\tau\nu}+\partial_\nu g_{\tau\lambda}-\partial_\tau g_{\nu\lambda})$
　 $\displaystyle = \partial_\lambda g_{\mu\nu}-\frac{1}{2}(\partial_\lambda g_{\nu\mu}+\partial_\mu g_{\nu\lambda}-\partial_\nu g_{\lambda\mu})-\frac{1}{2}(\partial_\lambda g_{\mu\nu}+\partial_\nu g_{\mu\lambda}-\partial_\mu g_{\nu\lambda})$
　 $\displaystyle = \partial_\lambda g_{\mu\nu}-\partial_\lambda g_{\mu\nu}$
　 $\displaystyle = 0$

簡単だった！

ついでに, 計量条件から導かれる簡単だけど有用なこと.

$T$ を任意のテンソルとして
$\displaystyle \nabla_\lambda(g_{\mu\nu}T)$
　 $\displaystyle = (\nabla_\lambda g_{\mu\nu})T+g_{\mu\nu}(\nabla_\lambda T)$
　 $\displaystyle = g_{\mu\nu}(\nabla_\lambda T)$ (計量条件を使った)

つまり,
$\displaystyle \nabla_\lambda(g_{\mu\nu}T)=g_{\mu\nu}(\nabla_\lambda T)$
ということで, 計量は共変微分の内外に自由に出し入れができるのである.