テンソルの縮約 - 高校時代に物理で赤点をとったけど相対性理論を勉強するよ！

$\displaystyle T'^\lambda_{\mu\nu}=\frac{\partial x'^\lambda}{\partial x^i}\frac{\partial x^j}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^k}{\partial x'^\nu}T^i_{jk}$
であるから
$\displaystyle T'^\lambda_{\lambda\nu}=\frac{\partial x'^\lambda}{\partial x^i}\frac{\partial x^j}{\partial x'^\lambda}\frac{\partial x^k}{\partial x'^\nu}T^i_{jk}$
$\displaystyle =\frac{\partial x^j}{\partial x^i}\frac{\partial x^k}{\partial x'^\nu}T^i_{jk}$
$\displaystyle =\delta^j_i\frac{\partial x^k}{\partial x'^\nu}T^i_{jk}$
$\displaystyle =\frac{\partial x^k}{\partial x'^\nu}T^i_{ik}$
よって $T^i_{ik}$ は 1 階の共変ベクトルになる.
$T^i_{ji}$ も同様.

$\displaystyle g'^{\tau\rho}=\frac{\partial x'^\tau}{\partial x^\mu}\frac{\partial x'^\rho}{\partial x^\nu}g^{\mu\nu}$
であるから,
$\displaystyle g'^{\tau\rho}T'^\lambda_{\rho\sigma} = \frac{\partial x'^\tau}{\partial x^\mu}\frac{\partial x'^\rho}{\partial x^\nu}\frac{\partial x'^\lambda}{\partial x^i}\frac{\partial x^j}{\partial x'^\rho}\frac{\partial x^k}{\partial x'^\sigma}g^{\mu\nu}T^i_{jk}$
$\displaystyle =\frac{\partial x'^\tau}{\partial x^\mu}\frac{\partial x'^\lambda}{\partial x^i}\frac{\partial x^k}{\partial x'^\sigma}\delta^j_\nu g^{\mu\nu}T^i_{jk}$
$\displaystyle =\frac{\partial x'^\tau}{\partial x^\mu}\frac{\partial x'^\lambda}{\partial x^i}\frac{\partial x^k}{\partial x'^\sigma}g^{\mu\nu}T^i_{\nu k}$
よって $(g^{\tau\rho}T^\lambda_{\rho\sigma})' \equiv g'^{\tau\rho}T'^\lambda_{\rho\sigma}$ と定義すれば $g^{\mu\nu}T^i_{\nu k}$ は 2 階反変 1 階共変のテンソルである.

テンソルの縮約について, 特に
$\displaystyle A_\nu \equiv g_{\mu\nu}A^\mu$
と定義する.
これをもって「ベクトルに計量をかけると添字の上げ下げができる」と表現されることもあるが, 正確には「ベクトルに計量をかけて縮約して得られるテンソルを添字の上げ下げによって表現する」である.
このように定義するのは, 反変成分に計量をかけることにより共変成分が得られたり, 距離を定義する際に計量が出てきて都合がよいから, だと思う.