リーマン曲率テンソル - 高校時代に物理で赤点をとったけど相対性理論を勉強するよ！

2 階のテンソルの共変微分は, たとえば次のようになるらしい.
$\displaystyle \nabla_\lambda T_{\mu\nu}=\partial_\lambda T_{\mu\nu}-\Gamma^\tau_{\lambda\mu}T_{\tau\nu}-\Gamma^\tau_{\lambda\nu}T_{\mu\tau}$
これは定義なのか定理なのか.
ベクトルの共変微分の定義と矛盾なく定義されたものなのか, ベクトルの共変微分から導かれるものなのか.
はたまた, より根本的な原理からベクトルも含めたテンソルの共変微分が導かれるのか.
リーマン幾何学を勉強したい.

$\nabla_\nu A_\sigma$ は, 2 階の共変テンソルで, $T_{\nu\sigma}$ とでもかくことができるものらしい.
これはきっと証明できるのだろう.

これらのことからリーマン曲率テンソルを導くのが今日のテーマ.

$\displaystyle \nabla_\mu(\nabla_\nu A_\sigma)$
$\displaystyle =\partial_\mu(\nabla_\nu A_\sigma)-\Gamma^\tau_{\mu\nu}(\nabla_\tau A_\sigma)-\Gamma^\tau_{\mu\sigma}(\nabla_\nu A_\tau)$
$\displaystyle =\partial_\mu(\partial_\nu A_\sigma-\Gamma^\rho_{\nu\sigma}A_\rho)-\Gamma^\tau_{\mu\nu}(\partial_\tau A_\sigma-\Gamma^\rho_{\tau\sigma}A_\rho)-\Gamma^\tau_{\mu\sigma}(\partial_\nu A_\tau-\Gamma^\rho_{\nu\tau}A_\rho)$
$\displaystyle =\partial_\mu(\partial_\nu)A_\sigma-(\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma})A_\rho-(\partial_\mu A_\rho)\Gamma^\rho_{\nu\sigma}$
　 $\displaystyle -\Gamma^\tau_{\mu\nu}(\partial_\tau A_\sigma-\Gamma^\rho_{\tau\sigma}A_\rho)$
　 $\displaystyle -\Gamma^\tau_{\mu\sigma}(\partial_\nu A_\tau-\Gamma^\rho_{\nu\tau}A_\rho)$
$\displaystyle =\partial_\mu(\partial_\nu)A_\sigma-(\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma})A_\rho$
　 $\displaystyle -\Gamma^\tau_{\mu\nu}(\partial_\tau A_\sigma-\Gamma^\rho_{\tau\sigma}A_\rho)$
　 $\displaystyle +\Gamma^\tau_{\mu\sigma}\Gamma^\rho_{\nu\tau}A_\rho$
　 $\displaystyle -\left\{(\partial_\mu A_\rho)\Gamma^\rho_{\nu\sigma}+\Gamma^\tau_{\mu\sigma}(\partial_\nu A_\tau)\right\}$ (第 3 項と第 6 項をまとめた)
$\displaystyle =\partial_\mu(\partial_\nu)A_\sigma-(\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma})A_\rho$
　 $\displaystyle -\Gamma^\tau_{\mu\nu}(\partial_\tau A_\sigma-\Gamma^\rho_{\tau\sigma}A_\rho)$
　 $\displaystyle +\Gamma^\tau_{\mu\sigma}\Gamma^\rho_{\nu\tau}A_\rho$
　 $\displaystyle -\left\{(\partial_\mu A_\rho)\Gamma^\rho_{\nu\sigma}+\Gamma^\rho_{\mu\sigma}(\partial_\nu A_\rho)\right\}$ ( $\tau$ を $\rho$ に置き換えた)
この第 1 項と 2 行目と 4 行目は $\mu$ , $\nu$ について対称であるから

$\displaystyle \left[\nabla_\mu,\nabla_\nu\right]A_\sigma$
　 $\displaystyle \equiv\nabla_\mu(\nabla_\nu A_\sigma)-\nabla_\nu(\nabla_\mu A_\sigma)$
　 $\displaystyle =(\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}-\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}+\Gamma^\tau_{\mu\sigma}\Gamma^\rho_{\nu\tau}-\Gamma^\tau_{\nu\sigma}\Gamma^\rho_{\mu\tau})A_\rho$
となる.
この右辺を
$\displaystyle -R^\rho_{\sigma,\mu\nu}A_\rho$
とかき,
$\displaystyle R^\rho_{\sigma,\mu\nu}$
を, リーマン曲率テンソルとよぶ.
これからリッチテンソルやスカラー曲率が出てくる.

ちなみに, 平行移動の概念を使ってもリーマン曲率テンソルを導くことができるが, そちらはやっていることは本質的には同じことで, おまけに 2 次以上の微小量は無視するという私の美的感覚にはそぐわないことをしているので, ここでは取り上げなかった.