ビアンキの恒等式
ビアンキの恒等式をヤコビの恒等式を使って証明するやり方のメモ.
復習.
… (1)
… (2)
これらより
(1) より
したがって
(2) より
ここで
… (3)
という量を計算すると, 上式の 1 行目の第 1 項と 2 行目のすべての項が打ち消し合って消える.
また, 3 行目の第 3 項と 4 行目の第 2 項は, いずれかの と を交換すると, それぞれ と を入れ替えた関係になるので, これらも (3) においては打ち消し合って消える.
残った式を展開すると, で と を入れ替えた式を表すものとして
(3)
(1 行目を展開し, 2 行目の第 1 項と 3 行目の第 1 項で を に置き換えた.)
このうち, 1 行目の第 2 項と 2 行目の第 1 項, 1 行目の第 4 項と 3 行目の第 1 項は, それぞれ と を入れ替えた関係なので, 打ち消し合って消える.
結局,
つまり
… (4)
ところで
であったから,
… (5)
(4) から (5) を引いて
これを を省略して
… (6)
と表すことにする.
, , をサイクリックに入れ替えて
… (7)
… (8)
(6), (7), (8) を辺々足すと
, は任意であるから,
おしまい!
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