高校時代に物理で赤点をとったけど相対性理論を勉強するよ!

相対性理論について学んだことや考えたことのメモです。コメント歓迎。

ビアンキの恒等式

ビアンキ恒等式をヤコビの恒等式を使って証明するやり方のメモ.

復習.
\displaystyle \nabla_\nu T_{\lambda\sigma}=\partial_\nu T_{\lambda\sigma}-\Gamma^\tau_{\nu\lambda} T_{\tau\sigma}-\Gamma^\tau_{\nu\sigma} T_{\lambda\tau} … (1)
\displaystyle \nabla_\mu T_{\nu\lambda\sigma}=\partial_\mu T_{\nu\lambda\sigma}-\Gamma^\gamma_{\mu\nu}T_{\gamma\lambda\sigma}-\Gamma^\gamma_{\mu\lambda}T_{\nu\gamma\sigma}-\Gamma^\gamma_{\mu\sigma}T_{\nu\lambda\gamma} … (2)
\displaystyle R^\rho_{\sigma,\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}+\Gamma^\gamma_{\nu\sigma}\Gamma^\rho_{\mu\gamma}-\Gamma^\gamma_{\mu\sigma}\Gamma^\rho_{\nu\gamma}

これらより
\displaystyle \nabla_\nu\nabla_\lambda A_\sigma=\partial_\nu(\nabla_\lambda A_\sigma)-\Gamma^\tau_{\nu\lambda}(\nabla_\tau A_\sigma)-\Gamma^\tau_{\nu\sigma}(\nabla_\lambda A_\tau) (1) より
したがって
\displaystyle \nabla_\mu\nabla_\nu\nabla_\lambda A_\sigma=\partial_\mu(\partial_\nu(\nabla_\lambda A_\sigma)-\Gamma^\tau_{\nu\lambda}(\nabla_\tau A_\sigma)-\Gamma^\tau_{\nu\sigma}(\nabla_\lambda A_\tau))
       \displaystyle -\Gamma^\gamma_{\mu\nu}(\partial_\gamma(\nabla_\lambda A_\sigma)-\Gamma^\tau_{\gamma\lambda}(\nabla_\tau A_\sigma)-\Gamma^\tau_{\gamma\sigma}(\nabla_\lambda A_\tau))
       \displaystyle -\Gamma^\gamma_{\mu\lambda}(\partial_\nu(\nabla_\gamma A_\sigma)-\Gamma^\tau_{\nu\gamma}(\nabla_\tau A_\sigma)-\Gamma^\tau_{\nu\sigma}(\nabla_\gamma A_\tau))
       \displaystyle -\Gamma^\gamma_{\mu\sigma}(\partial_\nu(\nabla_\lambda A_\gamma)-\Gamma^\tau_{\nu\lambda}(\nabla_\tau A_\gamma)-\Gamma^\tau_{\nu\gamma}(\nabla_\lambda A_\tau)) (2) より
ここで
\displaystyle [\nabla_\mu,\nabla_\nu]\nabla_\lambda A_\sigma\equiv\nabla_\mu\nabla_\nu\nabla_\lambda A_\sigma-\nabla_\nu\nabla_\mu\nabla_\lambda A_\sigma … (3)
という量を計算すると, 上式の 1 行目の第 1 項と 2 行目のすべての項が打ち消し合って消える.
また, 3 行目の第 3 項と 4 行目の第 2 項は, いずれかの \gamma\tau を交換すると, それぞれ \mu\nu を入れ替えた関係になるので, これらも (3) においては打ち消し合って消える.
残った式を展開すると, \displaystyle (\mu \leftrightarrow \nu)\mu\nu を入れ替えた式を表すものとして
(3) \displaystyle =-\partial_\mu(\Gamma^\tau_{\nu\lambda}(\nabla_\tau A_\sigma))-\partial_\mu(\Gamma^\tau_{\nu\sigma}(\nabla_\lambda A_\tau))
  \displaystyle -\Gamma^\gamma_{\mu\lambda}\partial_\nu(\nabla_\gamma A_\sigma)+\Gamma^\gamma_{\mu\lambda}\Gamma^\tau_{\nu\gamma}(\nabla_\tau A_\sigma)
  \displaystyle -\Gamma^\gamma_{\mu\sigma}\partial_\nu(\nabla_\lambda A_\gamma)+\Gamma^\gamma_{\mu\sigma}\Gamma^\tau_{\nu\gamma}(\nabla_\lambda A_\tau)
  \displaystyle - (\mu \leftrightarrow \nu)
  \displaystyle =-(\partial_\mu\Gamma^\tau_{\nu\lambda})(\nabla_\tau A_\sigma)-\Gamma^\tau_{\nu\lambda}\partial_\mu(\nabla_\tau A_\sigma)-(\partial_\mu\Gamma^\tau_{\nu\sigma})(\nabla_\lambda A_\tau)-\Gamma^\tau_{\nu\sigma}\partial_\mu(\nabla_\lambda A_\tau)
  \displaystyle -\Gamma^\tau_{\mu\lambda}\partial_\nu(\nabla_\tau A_\sigma)+\Gamma^\gamma_{\mu\lambda}\Gamma^\tau_{\nu\gamma}(\nabla_\tau A_\sigma)
  \displaystyle -\Gamma^\tau_{\mu\sigma}\partial_\nu(\nabla_\lambda A_\tau)+\Gamma^\gamma_{\mu\sigma}\Gamma^\tau_{\nu\gamma}(\nabla_\lambda A_\tau)
  \displaystyle - (\mu \leftrightarrow \nu)
  (1 行目を展開し, 2 行目の第 1 項と 3 行目の第 1 項で \gamma\tau に置き換えた.)
このうち, 1 行目の第 2 項と 2 行目の第 1 項, 1 行目の第 4 項と 3 行目の第 1 項は, それぞれ \mu\nu を入れ替えた関係なので, 打ち消し合って消える.
結局,
  \displaystyle =-(\partial_\mu\Gamma^\tau_{\nu\lambda})(\nabla_\tau A_\sigma)-(\partial_\mu\Gamma^\tau_{\nu\sigma})(\nabla_\lambda A_\tau)+\Gamma^\gamma_{\mu\lambda}\Gamma^\tau_{\nu\gamma}(\nabla_\tau A_\sigma)+\Gamma^\gamma_{\mu\sigma}\Gamma^\tau_{\nu\gamma}(\nabla_\lambda A_\tau)
  \displaystyle - (\mu \leftrightarrow \nu)
  \displaystyle =-(\partial_\mu\Gamma^\tau_{\nu\lambda})(\nabla_\tau A_\sigma)-(\partial_\mu\Gamma^\tau_{\nu\sigma})(\nabla_\lambda A_\tau)+\Gamma^\gamma_{\mu\lambda}\Gamma^\tau_{\nu\gamma}(\nabla_\tau A_\sigma)+\Gamma^\gamma_{\mu\sigma}\Gamma^\tau_{\nu\gamma}(\nabla_\lambda A_\tau)
  \displaystyle +(\partial_\nu\Gamma^\tau_{\mu\lambda})(\nabla_\tau A_\sigma)+(\partial_\nu\Gamma^\tau_{\mu\sigma})(\nabla_\lambda A_\tau)-\Gamma^\gamma_{\nu\lambda}\Gamma^\tau_{\mu\gamma}(\nabla_\tau A_\sigma)-\Gamma^\gamma_{\nu\sigma}\Gamma^\tau_{\mu\gamma}(\nabla_\lambda A_\tau)
  \displaystyle =-(\partial_\mu\Gamma^\tau_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\tau_{\mu\sigma}+\Gamma^\gamma_{\nu\sigma}\Gamma^\tau_{\mu\gamma}-\Gamma^\gamma_{\mu\sigma}\Gamma^\tau_{\nu\gamma})(\nabla_\lambda A_\tau)
  \displaystyle -(\partial_\mu\Gamma^\tau_{\nu\lambda}-\partial_\nu\Gamma^\tau_{\mu\lambda}+\Gamma^\gamma_{\nu\lambda}\Gamma^\tau_{\mu\gamma}-\Gamma^\gamma_{\mu\lambda}\Gamma^\tau_{\nu\gamma})(\nabla_\tau A_\sigma)
  \displaystyle =-R^\tau_{\lambda,\mu\nu}\nabla_\tau A_\sigma-R^\tau_{\sigma,\mu\nu}\nabla_\lambda A_\tau
つまり
\displaystyle [\nabla_\mu,\nabla_\nu]\nabla_\lambda A_\sigma\equiv\nabla_\mu\nabla_\nu\nabla_\lambda A_\sigma-\nabla_\nu\nabla_\mu\nabla_\lambda A_\sigma
 \displaystyle =-R^\tau_{\lambda,\mu\nu}\nabla_\tau A_\sigma-R^\tau_{\sigma,\mu\nu}\nabla_\lambda A_\tau … (4)

ところで
\displaystyle [\nabla_\mu,\nabla_\nu]A_\sigma=-R^\tau_{\sigma,\mu\nu}A_\tau
であったから,
\displaystyle \nabla_\lambda[\nabla_\mu,\nabla_\nu]A_\sigma\equiv\nabla_\lambda\nabla_\mu\nabla_\nu A_\sigma-\nabla_\lambda\nabla_\nu\nabla_\mu A_\sigma
 \displaystyle =-\nabla_\lambda(R^\tau_{\sigma,\mu\nu}A_\tau)
 \displaystyle = -\nabla_\lambda R^\tau_{\sigma,\mu\nu}A_\tau-R^\tau_{\sigma,\mu\nu}\nabla_\lambda A_\tau … (5)

(4) から (5) を引いて
\displaystyle [[\nabla_\mu,\nabla_\nu],\nabla_\lambda]A_\sigma\equiv[\nabla_\mu,\nabla_\nu]\nabla_\lambda A_\sigma-\nabla_\lambda[\nabla_\mu,\nabla_\nu]A_\sigma
 \displaystyle =-R^\tau_{\lambda,\mu\nu}\nabla_\tau A_\sigma+\nabla_\lambda R^\tau_{\sigma,\mu\nu}A_\tau
これを \nabla を省略して
\displaystyle (\mu\nu\lambda-\nu\mu\lambda-\lambda\mu\nu+\lambda\nu\mu)A_\sigma=-R^\tau_{\lambda,\mu\nu}\nabla_\tau A_\sigma+\nabla_\lambda R^\tau_{\sigma,\mu\nu}A_\tau … (6)
と表すことにする.
\lambda, \mu, \nu をサイクリックに入れ替えて
\displaystyle (\nu\lambda\mu-\lambda\nu\mu-\mu\nu\lambda+\mu\lambda\nu)A_\sigma=-R^\tau_{\mu,\nu\lambda}\nabla_\tau A_\sigma+\nabla_\mu R^\tau_{\sigma,\nu\lambda}A_\tau … (7)
\displaystyle (\lambda\mu\nu-\mu\lambda\nu-\nu\lambda\mu+\nu\mu\lambda)A_\sigma=-R^\tau_{\nu,\lambda\mu}\nabla_\tau A_\sigma+\nabla_\nu R^\tau_{\sigma,\lambda\mu}A_\tau … (8)
(6), (7), (8) を辺々足すと
\displaystyle (\nabla_\lambda R^\tau_{\sigma,\mu\nu}+\nabla_\mu R^\tau_{\sigma,\nu\lambda}+\nabla_\nu R^\tau_{\sigma,\lambda\mu})A_\tau-(R^\tau_{\lambda,\mu\nu}+R^\tau_{\mu,\nu\lambda}+R^\tau_{\nu,\lambda\mu})\nabla_\tau A_\sigma=0
A_\tau, A_\sigma は任意であるから,
\displaystyle \nabla_\lambda R^\tau_{\sigma,\mu\nu}+\nabla_\mu R^\tau_{\sigma,\nu\lambda}+\nabla_\nu R^\tau_{\sigma,\lambda\mu}=0
\displaystyle R^\tau_{\lambda,\mu\nu}+R^\tau_{\mu,\nu\lambda}+R^\tau_{\nu,\lambda\mu}=0

おしまい!

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