接続係数は 0 にできる - 高校時代に物理で赤点をとったけど相対性理論を勉強するよ！

任意の点 P において, 座標変換を適当に選べば, 接続係数を 0 にすることができるという話.

$\displaystyle \Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\frac{\partial x^\lambda}{\partial x'^\alpha}\frac{\partial x'^\sigma}{\partial x^\nu}\frac{\partial x'^\tau}{\partial x^\mu}\Gamma^\alpha_{\sigma\tau}+\frac{\partial x^\lambda}{\partial x'^\alpha}\frac{\partial^2 x'^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu}$
であるから, 点 P における接続係数の値
$\displaystyle \Gamma^\lambda_{\mu\nu}(P)$
が
$\displaystyle \frac{\partial x^\lambda}{\partial x'^\alpha}\frac{\partial^2 x'^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu}$
に P の座標を代入した値
$\displaystyle \left.\frac{\partial x^\lambda}{\partial x'^\alpha}\frac{\partial^2 x'^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu}\right|_P$
に等しくなるような $x'$ をとることができれば,
$\displaystyle \frac{\partial x^\lambda}{\partial x'^\alpha}\frac{\partial x'^\sigma}{\partial x^\nu}\frac{\partial x'^\tau}{\partial x^\mu}\Gamma^\alpha_{\sigma\tau}(P)=0$
となる.
ここから直ちに
$\displaystyle \Gamma^\alpha_{\sigma\tau}(P)=0$
を導くことはできないが, 後で示すように P を原点でないように平行移動することができるので, 結局は
$\displaystyle \Gamma^\alpha_{\sigma\tau}(P)=0$
となることが分かる.

点 P の座標を $c_p$ または $c'_p$ で表すと
$\displaystyle (x'-c'_p)^\alpha=(x-c_p)^\alpha+\frac{1}{2}\Gamma^\alpha_{\rho\sigma}(P)(x-c_p)^\rho(x-c_p)^\sigma$
となるような $x'$ をとればよい.
ここで, 例えば $(x'-c'_p)^\alpha$ などは $x'^\alpha-{c'_p}^\alpha$ などとは書けないことには注意を要する.
というのも, 変換が線形であるとは限らないからである.
と思ったけれども, 上の変換は線形だからいいのか？
ん？どうなの？
とにかく,
$\displaystyle \frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu}=\delta^\alpha_\mu+\frac{1}{2}\Gamma^\alpha_{\rho\sigma}(P)\{\delta^\rho_\mu(x-c_p)^\sigma+(x-c_p)^\rho\delta^\sigma_\mu\}$
より
$\displaystyle \left.\frac{\partial^2 x'^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu}\right|_P=\frac{1}{2}\Gamma^\alpha_{\rho\sigma}(P)\{\delta^\rho_\mu \delta^\sigma_\nu+\delta^\rho_\nu \delta^\sigma_\mu\}=\Gamma^\alpha_{\mu\nu}(P)$
また,
$\displaystyle \left.\frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\lambda}\right|_P=\delta^\alpha_\lambda$
より
$\displaystyle \left.\frac{\partial x^\lambda}{\partial x'^\alpha}\right|_P=\delta^\lambda_\alpha$
これらを代入すれば確かに
$\displaystyle \Gamma^\alpha_{\sigma\tau}(P)=0$
となることが分かる.