全微分 - 高校時代に物理で赤点をとったけど相対性理論を勉強するよ！

全微分というのがよく分からない.
ネットで調べてみても色々に書いてあって統一性がない.
「解析概論」を読み返してみよう.

とりあえず, 式から分かることをまとめてみる.

$x$ と $y$ についての 2 変数関数 $f(x,y)$ について
$\displaystyle df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$
を, 関数 $f(x,y)$ の全微分と呼ぶ, らしい.
場合によっては変数に $t$ を含んでいたりして, 全体を $t$ で割ったもの $\frac{df}{dt}$ も全微分と呼ぶとか何とか.

$\frac{\partial f}{\partial x}$ の $x$ , $y$ に $a$ , $b$ を代入したものを
$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x,y)=(a,b)}$
と書くとすると, これは関数 $f$ のグラフ上の点 $(a,b)$ における $x$ 軸に平行な接線 A の傾きを表す.
これは $z=g(x,y)$ などと表されるものとする.
したがって,
$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x,y)=(a,b)}dx$
は, $x$ が $a$ から $dx$ だけ増加した場合の接線 A の $z$ 座標の増加量を表す.
$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x,y)=(a,b)}dy$
も同様.
すると,
$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x,y)=(a,b)}dx+\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x,y)=(a,b)}dy$
は, $x$ が $a$ から $dx$ , $y$ が $b$ から $dy$ だけ増加したときの接平面の $z$ 座標の増加量を表すことになる.
図があると分かりやすいが, 用意するのが面倒なので割愛する.

そういうわけで
$\displaystyle df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$
は, $x$ , $y$ に $a$ , $b$ を代入すると
「 $x$ が $a$ から $dx$ , $y$ が $b$ から $dy$ だけ増加したときの接平面の $z$ 座標の増加量」
を求めることができる式, ということになる.
簡単にいえば
「 $x$ が $dx$ , $y$ が $dy$ だけ増加したときの $f$ の増加量の線形近似」
というわけだ.
$dx$ と $dy$ が小さくなるほどにその近似の精度は高まる.

とりあえずはこのような理解で大丈夫だろうか.