共変ベクトルの共変微分 - 高校時代に物理で赤点をとったけど相対性理論を勉強するよ！

反変ベクトルの共変微分は
$\displaystyle \nabla_\nu A^\mu=\partial_\nu A^\mu-\Gamma^\mu_{\nu\rho}A^\rho$
で定義された.
この定義の必然性がよく分からないのは以前と変わらないのだが, これを元にして共変ベクトルの共変微分を定義する.

一般のテンソルに対する共変微分について, 次の 2 条件を満たすことを要請する.
(i) $S$ がスカラーなら $\nabla_\mu S \equiv \partial_\mu S$
(ii) 2 個の任意のテンソル $A$ , $B$ に対して $\nabla_\mu(AB) \equiv (\nabla_\mu A)B+A(\nabla_\mu B)$

(i) のスカラーは定数という意味ではなく, 座標変換をしても値を変えないというものである.
(ii) はライプニッツの法則 (積の偏微分の法則) が成り立つようにしたいということである.

$\displaystyle \partial_\nu(A^\mu B_\mu) = (\partial_\nu A^\mu)B_\mu+A^\mu(\partial_\nu B_\mu)$
であり, (i) より
$\displaystyle \nabla_\nu(A^\mu B_\mu)$
$\displaystyle =(\nabla_\nu A^\mu)B_\mu+A^\mu(\nabla_\nu B_\mu)$
$\displaystyle =(\partial_\nu A^\mu-\Gamma^\mu_{\nu\rho}A^\rho)B_\mu+A^\mu(\nabla_\nu B_\mu)$
であるが, $\displaystyle A^\mu B_\mu$ はスカラーだったので, (ii) より
$\displaystyle \partial_\nu(A^\mu B_\mu) = \nabla_\nu(A^\mu B_\mu)$
すなわち
$\displaystyle (\partial_\nu A^\mu)B_\mu+A^\mu(\partial_\nu B_\mu) = (\partial_\nu A^\mu-\Gamma^\mu_{\nu\rho}A^\rho)B_\mu+A^\mu(\nabla_\nu B_\mu)$
ゆえに
$\displaystyle A^\mu(\nabla_\nu B_\mu) = A^\mu(\partial_\nu B_\mu)+\Gamma^\mu_{\nu\rho}A^\rho B_\mu$
$\rho$ , $\mu$ はすべての数をわたるから, 添字を変えて
$\displaystyle A^\mu(\nabla_\nu B_\mu) = A^\mu(\partial_\nu B_\mu)+\Gamma^\lambda_{\nu\mu}A^\mu B_\lambda$
$\mu$ は任意の自然数の値をとり得るので, 数学的帰納法により
$\displaystyle \nabla_\nu B_\mu = \partial_\nu B_\mu+\Gamma^\lambda_{\nu\mu} B_\lambda$
と, 定義すればよいことが分かる.